მოცემულ განტოლებას ურთიერთ მარტივი ამონახსნი არა აქვს, რაც მტკიცდება მარტივად და ელეგანტურად, მაშინ როდესაც ფრანგ კანადის უნივერსიტეტის და ჰარვარდის უნივერსიტეტის პროფესორს ჰენრი დარმონს 2007 წლის სექტემბერში ინტერნეტში გამოქვეყნებული აქვს სტატია, სადაც ის იხილავს უფრო ზოგად შემთხვევას, კერძოდ: x^4-y^4=z^p, როცა p>=11 მარტივი რიცხვია. საინტერესოა ის ფაქტი, რომ ის აქ იყენებს თანამედროვე რიცხვთა თეორიის თითქმის ყველა იმ თეორიას, რაც გამოიყენა უალსმა ფერმას უკანასკნელი თეორემის დამტკიცებისას.
მაშინ როდესაც მე დამტკიცებისას გამოყენებული მაქვს x^3+y^3=z^2 დიოფანტეს განტოლების ამონახსნების ზოგადი პარამეტრული ფორმულა, რაც მე აღმოვაჩინე 2003 წელს, რისი დამტკიცებაც შემიძლია, მაშინ როდესაც კოლუმბიის უნივერსიტეტის პროფესორმა ბრიტანელმა მაიკ ბენეთმა 2013 წელს დაუმტკიცებლად გამოაქვეყნა ეს პარამეტრული ფორმულა ინტერნეტში დისკუსიისას ისე, რომ არ მიუთითებია არც ავტორი და არც აღმოჩენის თარიღი. ამ სადავო საკითხზე მე ამავე ვებსაიტში საინტერესო სტატია მაქვს განთავსებული, სათაურით: სადავო საკითხი ინტელექტუალურ საკუთრებაზე.
Theorem. Diophantine equation x^n+y^m=z^k has no coprime solution when n>2, m>2, k>2.
A p p r o v a l
Suppose opposed that this equation has a coprime solution, then the equation has infinite solutions, which can parametric representation: x=f(t,u), y=g(t,u), z=h(t,u).
When u=a, then x=f(t,a)=x(t), y=g(t,a)=y(t), z=h(t,a)=z(t), where degx(t)>0, degy(t)>0, degz(t)>0 and x(t), y(t) and z(t) coprime, but it is impossible, as you can see at the website the Georgian language.
Theorem. Diophantine equation x^n+y^n=z^n has no solution when n>2.
A p p r o v a l
Suppose opposed that this equation has a solution, then the equation has infinite solutions which can parametric representation: x=f(t,u), y=g(t,u), z=h(t,u).
When u=a, then x=f(t,a)=x(t), y=g(t,a)=y(t), z=h(t,a)=z(t), where degx(t)>0, degy(t)>0, degz(t)>0, but it is impossible.
