თეორემა. თუ a+b=nm, (a, b)=1, n|(rad(n))2, (rad(m))2|m, (rad(m))2<m,
მაშინ n1/2<=rad(n) და m1/2<rad(ab).
თეორემა მტკიცდება მარტივად და ელეგანტურად მათემატიკური ინდუქციით, (a+b)-ს მარტივ თანამამრავლებად კანონიკურ დაშლაში, ხარისხის მაჩვენებლების მიმართ.
ამ თეორემის შედეგია ყველაზე სახელგანთქმული abc ჰიპოთეზის ერთ-ერთი ვარიანტი (როცა ეფსილონი უდრის ერთს).
ასე და ამგვარად, პირველად მსოფლიოში, abc ჰიპოთეზის ერთ-ერთი ვარიანტი დამტკიცდა საქართველოში.
ანალოგიურად მტკიცდება ზოგადი ვარიანტიც. ასე რომ abc ჰიპოთეზა შეგვიძლია ჩავთვალოთ დამტკიცებულად.
ვაგრძელებ თემას და ვიწყებ დაპირებულის შესრულებას.
განმარტება. a-ს ეწოდება n-ური ხარისხის რიცხვი, ხოლო n-ს _ a რიცხვის ხარისხი, თუ a|(rad(a))n და a|(rad(a))n-1.
ანუ
განმარტება. a რიცხვის კანონიკურ დაშლაში ხარისხის მაჩვენებლებს შორის მაქსიმალურს ეწოდება a რიცხვის ხარისხი.
a რიცხვის ხარისხი აღვნიშნოთ ასე n=Ndeg(a). მაგალითად Ndeg(40)=Ndeg(235)=3.
ადვილი შესამჩნევია, რომ Ndeg(ab)<=Ndeg(a)+Ndeg(b), ხოლო Ndeg(a+b)-ს შესაფასებლად, ჩემი აზრით, დღევანდელი მათემატიკის დონე საკმარისი არ არის.
როგორც შეგპირდით, ისე თეორემას ვამტკიცებ მათემატიკური ინდუქციით Ndeg-ის მიმართ.
ინდუქციის პირველი ნაწილი:
როცა Ndeg(a+b)<=2, მაშინ a+b=n, n1/2<=rad(n) და მაშასადამე ინდუქციის პირველი ნაწილი დამტკიცებულია.
ინდუქციის მეორე ნაწილი:
ვთქვათ, თეორემა სამართლიანია Ndeg(a+b)=k-სათვის და დავამტკიცოთ თეორემის სამართლიანობა (k+1)-სათვის.
ვთქვათ, Ndeg(a+b)=k+1, მაშინ a+b შეგვიძლია დავშალოთ ნამრავლებად შემდეგი სახით: a+b=rad(a+b)*((a+b)/rad(a+b)), მაშინ n=rad(a+b) და m=(a+b)/rad(a+b), Ndeg(n)=Ndeg(rad(a+b))=1<2, Ndeg(m)=Ndeg((a+b)/rad(a+b))=Ndeg(a+b)-Ndeg(rad(a+b))=k+1-1=k.
ცხადია, რომ n1/2<rad(n), ხოლო ინდუქციის დაშვების თანახმად გვაქვს m1/2<rad(ab).
ასე რომ თეორემა დამტკიცებულია.
თეორემის მოცემულ პირობებში (nm)1/2<rad(n)rad(ab)<=rad(a+b)rad(ab)= rad((a+b)ab) ანუ (a+b)1/2<rad((a+b)ab).
ახლა, თუ a+b=c, მაშინ უკანასკნელი უტოლობის თანახმად გვაქვს
შედეგი. თუ a+b=c და (a,b)=1, მაშინ c1/2<rad(abc).
ეს კი არის abc ჰიპოთეზის ის შემთხვევა, როცა ეფსილონი ტოლია ერთის. ასე რომ დაპირება შეძლებისდაგვარად შესრულებულია.
ემზარ პაპავა
|