თეორემა (პაპავა). განტოლების
X1^m1*...*Xp^mp+Y1^n1*...*Yq^nq=Z1^k1*...*Zr^kr, (1)
mi>2, i=1,2,3,...,p,
ni>2, i=1,2,3,...,q,
ki>2, i=1,2,3,...,r,
მოცემულ პირობებში, მთელ რიცხვთა სიმრავლეში, ნებისმიერი ამონახსნისათვის სრულდება შემდეგი პირობა:
(X1*...*Xp, Y1*...*Yq, Z1*...*Zr)=d>1. (2)
გამოვრიცხოთ შემთხვევები (0,1,1), (1,0,1), (1,-1,0), (-1,1, 0),...
დ ა მ ტ კ ი ც ე ბ ა
დამტკიცებას ვაწარმოებთ მათემატიკური ინდუქციით, (1) განტოლების ხარისხის მაჩვენებლებთა მიმართ.
n=max{m1,...mp,n1,...,nq,k1,...,kr}.
ინდუქციის პირველი ნაწილი ადვილად მტკიცდება, მართლაც: n=3-სათვის X³+Y³=Z³ განტოლების ამონახსნებია (0,a,a), (a,0,a), (a,-a,0), (0,0,0) და მხოლოდ ესენი, ეილერის თანახმად. ეს ამონახსნები საერთო გამყოფს შეიცავენ, გარდა ერთი ტრივიალური შემთხვევისათვის a=1.
ინდუქციის მეორე ნაწილი. დავუშვათ, რომ (1) ტიპის ყველა განტოლების ამონახსნებისათვის, რომელთა ხარისხის მაჩვენებლები მოთავსებულია [3;n] მონაკვეთზე, სრულდება (2) პირობა და აქედან გამომდინარე დავამტკიცოთ, რომ ყველა იმ განტოლებათა ამონახსნები, რომელთა ხარისხის მაჩვენებლები მოთავსებულია [3,n+1] მონაკვეთზე, აკმაყოფილებენ აგრეთვე (2) პირობას. მართლაც, თუ ერთი ან რამდენიმე ხარისხის მაჩვენებელი ტოლია (n+1)-ის, მაშინ ეს ხარისხი უნდა წარმოვიდგინოთ, როგორც ორი ხარისხის ნამრავლის სახით, ისე რომ ხარისხის მაჩვენებლები მეტი იყოს 2-ზე. მაგალითად, ზოგადობის დაურღვევლად, ვთქვათ mj=n+1, მაშინ წარმოდგენა იქნება შემდეგნაირად: Xj^mj=Xj^(n+1)=Xj^a * Xj^b, სადაც 2<a<n, 2<b<n, მაშინ დაშვების თანახმად პაპავას თეორემა დამტკიცებულია.
შედეგი. პაპავას თეორემიდან გამომდინარეობს აწდამტკიცებული ფერმას დიდი თეორემა და ბილის ვარაუდი, რომელზედაც ჯილდოს ოდენობა არის $1000 000 დოლარი, რომელიც დღემდე გაუცემელია.
პაპავას ჰიპოთეზის კონტრ-მაგალითი:
271³+2³73³3^5=919³.
პაპავას ჰიპოთეზის რამოდენიმე შესწორებული ვარიანტი შეგიძლიათ ნახოთ ამავე ვებ-საიტზე.
სიკეთე და ბედნიერება ყველას!
ყველას გილოცავთ შობა ახალ წელს!
ემზარ პაპავა
|
