აქედან იწყება რიცხვთა თეორიის ჯაჭვური რეაქცია.
ჯერ არასდროს არ ყოფილა რიცხვთა თეორიის ასეთი დონის ცხელი წერტილი მათემატიკის მეგასივრცეში, რომელმაც შეიძლება გამოიწვიოს გლობალური დათბობა და შედეგად საუკუნოობით გაყინული პრობლემების ლღობა ამავე სივრცეში.
ამ თეორიით იწყება გრანდიოზული ვულკანური ამოფრქვევა მათემატიკის სივრციდან, რომელმაც შეიძლება მათემატიკის დაუპყრობელი პრობლემური მწვერვალები სიბრტყეს გაასწოროს და მათ ნაცვლად ახალი რეალობა შექმნას მათემატიკაში ახალი პრობლემებით.
მე ახლა შეძლებისდაგვარად ვეცდები რამოდენიმე ნაბიჯით წინ წავწიო ეს თეორია და განვავრცო იგი. ნათელია, რომ იდეა ახალია, გზა კი _ შორს მიმავალი, ხოლო დანიშნულების წერტილი, დღევანდელი გადმოსახედიდან, არ ჩანს.
ნატურალურ რიცხვთა სიმკვრივის ცნება, ეს არის რიცხვთა თეორიის ახალი უნივერსალური იარაღი, რომელიც ნათელსა მოჰფენს დღემდე ბურუსით მოცულ ნატურალურ რიცხვთა რთულ ბუნებას.
მე აქ ნატურალური რიცხვის სიმკვრივეს განვსაზღვრავ სხვადასხვანაირად, რომელთაგან თითოეული გარკვეულწილად განსაზღვრავს ნატურალური რიცხვის მულტიპლიკაციური სტრუქტურის ხასიათს, ხოლო ყველა ერთად _ მისი მულტიპლიკაციური სტრუქტურის სრულ ბუნებას.
ნატურალური a რიცხვის უდიდესი მარტივი გამყოფი აღვნიშნოთ D(a)-თი.
განმარტება 1. ნატურალური a რიცხვის სიმკვრივის მაჩვენებელი a1/2-ის მიმართ გამოითვლება ფორმულით r(a)=D(a)/a1/2.
განმარტება 2. ნატურალურ a რიცხვს ეწოდება მკვრივი a1/2-ის მიმართ, თუ r(a)>1, ეწოდება არამკვრივი, თუ r(a)<1 და ეწოდება სიმეტრიულად მკვრივი, თუ r(a)=1.
მარტივი რიცხვის კვადრატი სიმეტრიულად მკვრივია, მართლაც r(p2)=1.
სამგამყოფიან რიცხვთა სიმრავლე წარმოადგენს მარტივი რიცხვების კვადრატების სიმრავლეს ანუ სიმეტრიულად მკვრივი რიცხვების სიმრავლეს. ყველა იმ სამგამყოფიან რიცხვთა რაოდენობა, რომლებიც არ აღემატებიან x-ს აღვნიშნოთ п3(x)-ით, რომელიც გამოითვლება ფორმულით п3(x)=п(x1/2), სადაც п(x1/2) არი იმ მარტივ რიცხვთა რაოდენობა, რომლებიც x1/2-ს არ აღემატება.
ცხადია, რომ ყოველი მარტივი p რიცხვი მკვრივია p1/2-ის მიმართ, რადგან r(p)>1, ამიტომ მარტივ რიცხვთა სიმრავლე მკვრივ რიცხვთა სიმრავლის ქვესიმრავლეა.
სიმკვრივის მიმართებით, მკვრივი რიცხვი მარტივი რიცხვის განზოგადებაა. შეიძლება ითქვას, რომ მარტივი რიცხვი არის მაღალი დონის მკვრივი რიცხვი.
ცხადია, რომ ორი განსხვავებული მარტივი რიცხვის ნამრავლი მკვრივი რიცხვია, რადგან a<(ab)1/2<b, r(ab)=b/(ab)1/2>1.
მოცემული სიმკვრივის ცნების მიმართებით, ახლა თუ განვიხილავთ მკვრივ რიცხვთა სიმრავლის სიმკვრივეს ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეში ანუ მკვრივ რიცხვთა განაწილების სიხშირეს ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეში, მაშინ ისევე როგორც მარტივ რიცხვთა სიმრავლე, ასევე იგიც ხასიათდება მეტად რთული ბუნებით. მაგრამ აქ გამოსავალი არსებობს.
თუ დავაკვირდებით, მაშინ ადვილად შევამჩნევთ, რომ ყოველი მკვრივი a რიცხვისათვის მარტივი გამყოფი, მეტი a1/2-ზე, შესაბამისად ერთადერთია და ის ტოლია D(a)-სი, a-ს უდიდესი მარტივი გამყოფისა. ეს ფაქტი მეტად მნიშვნელოვანია სიმკვრივის მოცემული ცნების განსაკუთრებულობისათვის და კორექტულობისათვის.
ახლა, ბუნებრივია იბადება კითხვა: რა მოხდება, თუ a1/2 ხარისხში ხარისხის მაჩვენებელი 1/2<1 გაიზრდება? ამ კითხვის პასუხი დავიწყოთ შემდეგნაირად: ადვილად შევამჩნევთ, რომ მკვრივ რიცხვთა სიმრავლე უფრო ხშირად არის განაწილებული ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეში, ვიდრე მარტივ რიცხვთა სიმრავლე ანუ მკვრივ რიცხვთა სიმრავლის სიმკვრივე ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეში მეტია, ვიდრე მარტივ რიცხვთა სიმრავლისა. რაც შეეხება კითხვის პასუხს, მდგომარეობს იმაში, რომ 1/2 -ის გაზრდით მკვრივ რიცხვთა სიმრავლის სიმკვრივე ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეში კლებულობს და ის უახლოვდება მარტივ რიცხვთა სიმრავლის სიმკვრივეს, როცა 1/2→1.
ახლა გინდ დაიჯერეთ, გინდ არა, კაცობრიობას უკვე დღეიდან ხელთა აქვს ის საოცარი გენიალური და მარტივი ფაქტი, რომელსაც ის ამაოდ ეძებდა ევკლიდედან დღემდე.
აი მართლაც გამოჩნდა ის:
Pn={a | a c N, D(a)>=a(n-1)/n},
Lim Pn=P, როცა n→infinite
Э n0: n>n0 Pn=P.
როგორც ვხედავთ, მე მივიღე მარტივ რიცხვთა სიმრავლე.
п(x,n)=card{a | acN, a<=x, D(a)>=a(n-1)/n},
п(x)=Lim п(x,n), როცა n→oo (infinite),
სადაც п(x) არის ყველა იმ მარტივ რიცხვთა რაოდენობა, რომლებიც არ აღემატება x-ს.
ვთქვათ, ახლა, a-ს უდიდესი მარტივი გამყოფი D(a)=p, a=bp, მაშინ p>(bp)(n-1)/n, pn>bn-1pn-1, p>bn-1.
როცა n=2, მაშინ p>b, a=bp, ასეთ a რიცხვებს ვუწოდოთ წრფივად მკვრივი რიცხვები; როცა n=3, მაშინ p>b2, ასეთ a რიცხვებს ვუწოდოთ კვადრატულად მკვრივი რიცხვები და ასე შემდეგ; როცა p>bn, მაშინ გვაქვს n-ურად მკვრივი რიცხვები.
ახლა n-ურად მკვრივი რიცხვის ცნებას მივცეთ ფიზიკური ახსნა. ნატურალური რიცხვი წარმოვიდგინოთ, როგორც რაიმე ხრეშის მასა, რომელიც შედგება ქვიშის მარცვლებისა და ქვების ნარევისაგან. მოცემულ ხრეშის მასას ეწოდება n-ურად მკვრივი, თუ მასში არსებობს ერთი უდიდესი ქვა ისეთი, რომ მისი მასა მეტი იყოს დანარჩენი ხრეშის მასის n-ურ ხარისხზე. საინტერესოა ის ფაქტი, რომ ყოველი n-ურად მკვრივი ხრეშის მასაში ასეთი ქვა ერთადერთია, გარდა სიმეტრიულად მკვრივი ხრეშის მასისა.
ხრეშის მასა წრფივად მკვრივია, თუ მასში არსებობს ერთი უდიდესი ქვა ისეთი, რომ მისი მასა მეტი იყოს დანარჩენი ხრეშის მასაზე.
შედარებისთვის შეგვიძლია ხრეშის მასა წარმოვიდგინოთ როგორც ნატურალური რიცხვი, ხოლო ხრეშის მასაში შემავალი ქვები და ქვიშის მარცვლები წარმოვიდგინოთ, როგორც ნატურალური რიცხვის მარტივი გამყოფები, მაშინ ადვილი წარმოსადგენია, რომ ნატურალური რიცხვის სიმკვრივის ცნებას გააჩნია მექანიკური შინაარსი ანუ ფიზიკური აზრი.
ახლა, რამოდენიმე დღის შემდეგ, ისევ ვაგრძელებ თეორიას, რადგან ამ თეორიას მეტად საინტერესო გაგრძელება აღმოაჩნდა.
მოდი ახლა უფრო გასაგებად ჩამოვაყალიბოთ შემდეგი
განმარტება 3. ნატურალურ a რიცხვს ეწოდება n-ურად მკვრივი, თუ მისი ერთ-ერთი მარტივი გამყოფი p|a მეტია დანარჩენი ნაწილის n-ურ ხარისხზე, ე.ი. p>(a/p)n.
კერძოდ, თუ n=1 და p>a/p, მაშინ ვიტყვით, რომ a არის წრფივად მკვრივი; თუ n=2 და p>(a/p)2, მაშინ ვიტყვით, რომ a არის კვადრატულად მკვრივი; თუ n=3, მაშინ ვიტყვით, რომ a არის კუბურად მკვრივი და ასე შემდეგ.
,,მკვრივი” ინგლისურად არის Dense, ამიტომ n-ურად მკვრივი რიცხვების სიმრავლეს აღვნიშნავ Dn-ით.
Dn={a | acN, p|a, pcP, p>(a/p)n, ncN}.
ადვილი დასანახია, რომ
D1>D2>D3>...>Dn>Dn+1>...>P. აქ, ამ შემთხვევაში, სიმბოლო ,,>” ნიშნავს ,,მოიცავს” (სიმრავლეთა მიკუთვნებას), საიტში სიმბოლოთა უკმარისობის გამო.
Lim Dn=P, როცა n→oo (infinite);
Dn-ების თანაკვეთა არის P.
p> (a/p)n უტოლობიდან ვღებულობთ, რომ p1/n>a/p=1,2,3,...,[p1/n];
ახლა Dn(p)-თი აღვნიშნოთ ყველა იმ n-ურად მკვრივი რიცხვების სიმრავლე, რომლებიც წარმოიქმნებიან p მარტივი რიცხვით:
Dn(p)={p,2p,3p,...,[p1/n]p};
როცა n=1, მაშინ გვაქვს გამონაკლისი შემთხვევა:
D1(p)={p,2p,3p,...,(p-1)p};
Dn=U Dn(p), გაერთიანება p მარტივი რიცხვების მიმართ.
ისევ ვაგრძელებ თეორიას.
განმარტება 4. ნატურალურ a რიცხვს ეწოდება n-ჯერ მკვრივი, თუ მისი ერთ-ერთი p|a მარტივი გამყოფისათვის სრულდება უტოლობა p>n(a/p) ანუ p2>na.
კერძოდ, თუ n=1 და p2>a, მაშინ ვიტყვით, რომ a არის წრფივად მკვრივი; თუ n=2 და p2>2a, მაშინ ვიტყვით, რომ a არის 2-ჯერ მკვრივი; თუ n=3 და p2>3a, მაშინ ვიტყვით, რომ a არის 3-ჯერ მკვრივი და ასე შემდეგ.
,,მკვრივი” ინგლისურად არის Dense, ამიტომ n-ჯერ მკვრივი რიცხვების სიმრავლეს აღვნიშნავ D'n-ით. შტრიხით იმიტომ, რომ ის განვასხვავოთ Dn-ისაგან.
D'n={a | acN, p|a, pcP, p2>na, ncN}.
ადვილი დასანახია, რომ
D'1>D'2>D'3>...>D'n>D'n+1>...>P. აქ, ამ შემთხვევაში, სიმბოლო ,,>” ნიშნავს ,,მოიცავს” (სიმრავლეთა მიკუთვნებას), საიტში სიმბოლოთა უკმარისობის გამო.
Lim D'n=P, როცა n→oo (infinite);
D'n-ების თანაკვეთა არის P.
p>n(a/p) უტოლობიდან ვღებულობთ, რომ p/n>a/p=1,2,3,...,[p/n];
ახლა D'n(p)-თი აღვნიშნოთ ყველა იმ n-ჯერ მკვრივი რიცხვების სიმრავლე, რომლებიც წარმოიქმნებიან p მარტივი რიცხვით:
D'n(p)={p,2p,3p,...,[p/n]p};
როცა n=1, მაშინ გვაქვს გამონაკლისი შემთხვევა:
D'1(p)={p,2p,3p,...,(p-1)p};
D'n=U D'n(p), გაერთიანება p მარტივი რიცხვების მიმართ.
ისევ ვაგრძელებ თეორიას.
აჰა, ესეც ასე, ერთის ნაცვლად ორი გზა გამოჩნდა დანიშნულების წერტილამდე, ესენია:
1. Lim п(x,n)=п(x), როცა n→oo (infinite);
2. Lim п'(x,n)=п(x), როცა n→oo (infinite);
სადაც п(x,n) არის ყველა იმ n-ურად მკვრივი რიცხვების რაოდენობა, რომლებიც არ აღემატებიან x-ს, ხოლო п'(x,n) არის ყველა იმ n-ჯერ მკვრივი რიცხვების რაოდენობა, რომლებიც არ აღემატებიან x-ს.
როგორც ვხედავთ, გზა п(x)-საკენ გამოჩნდა, ხოლო გზა п(x)-დან რიმანის ჰიპოთეზამდე ადრეც ნაპოვნია.
ასე რომ მე მივიღე ის, რასაც მათემატიკოსთა საზოგადოება დიდი ხანია სულმოუთქმელად ელოდებოდა, ამასთან თუ ეს დადასტურდა, მაშინ რიმანის 1000 000 დოლარიანი ჰიპოთეზაც შეიძლება გადაწყვეტილად ჩავთვალოთ, რომელიც ათასწლეულის ამოცანათა სიაშია განთავსებული.
ემზარ პაპავა
| 
