თეორემა. განტოლებას x(t)^n + y(t)^m = z(t)^k, n>=3, m>=3, k>=3 არა აქვს ამონახსნი მუდმივების არატოლ x(t), y(t), z(t) ურთიერთმარტივ პოლინომებში C[t]-დან. დ ა მ ტ კ ი ც ე ბ ა f(t) პოლინომის განსხვავებულ ფესვთა რაოდენობა აღინიშნება n0(f)-ით. თეორემის პირობიდან, მეისონ-სტოტერსის თეორემის თანახმად, ვღებულობთ deg x(t)^n<=n0(x(t)^n y(t)^m z(t)^k)-1= =n0(x(t)y(t)z(t))-1=n0(x(t))+n0(y(t))+n0(z(t))-1<= <=deg x(t)+deg y(t)+deg z(t)-1. n deg x(t)<=deg x(t)+deg y(t)+deg z(t)-1; m deg y(t)<=deg x(t)+deg y(t)+deg z(t)-1; k deg z(t)<=deg x(t)+deg y(t)+deg z(t)-1. ბოლო სამი უტოლობის შეკრებით, მივიღებთ n degx(t)+m degy(t)+k degz(t)<=3(degx(t)+degy(t)+degz(t))-3, (n-3)deg x(t)+(m-3)deg y(t)+(k-3)deg z(t)<=-3. როცა n>=3, m>=3, k>=3, მაშინ ბოლო უტოლობა შეუძლებელია, რადგან მარცხენა მხარე ამ პირობებში მეტია ან ტოლია 0-ზე, ხოლო მარჯვენა უარყოფითია. ასე რომ თეორემა დამტკიცებულია. ველი კომენტარს. ემზარ პაპავა
|