ფაილების კატალოგი

       დილუორსის  თეორემა. (1945 წ.).  ერთადერთ  დამატებებიანი  არამოდულარული  მესერი  არსებობს  თეორიულად.

        მაგრამ  მისი  კონკრეტული  მაგალითი  ჯერ  კიდევ  უცნობია.

        მოგახსენებთ,  რომ  მე  აღმოვაჩინე  მესერის  განზოგადებული  ალგებრული  სტრუქტურა,  რომელიც  ერთადერთ  დამატებებიანია  და  არამოდულარული.  არსებობს  მისი  კონკრეტული  მაგალითიც.

        ფერმას  დიდი  თეორემის  დამტკიცების  დროს  გამოყენებულია  ფერმას  განტოლების  ფრეის  მიერ  გაკეთებული  გარდაქმნა,  რამაც  მიგვიყვანა  ელიფსურ  წირებამდე.  ხოლო  ელიფსური  წირების  კავშირი  მოდულარულ  ფორმებთან  ივარაუდა  იაპონელმა  იუტაკა  ტანიამამ.  მასთან  მუშაობდა  გორო  შიმურა.

         ტანიამა-შიმურას  ჰიპოთეზა.  ნებისმიერი  ელიფსური  წირი  მოდულარულია.

         ამ  ჰიპოთეზის  სამართლიანობიდან  გამომდინარეობს  ფერმას  დიდი  თეორემის  სამართლიანობა.

         ეს  ჰიპოთეზა  დაამტკიცა  ენდრი  უალსმა  ტეილორთან  ერთად.  ჰიპოთეზა  ამბობს  რომ  ელიფსური  წირები  არსებითად  მოდულარული  ფორმებია.

         პენროუზის  მოზაიკა  არასიმეტრიული  მოდულარული  ფორმაა,  ხოლო  მორიცა  ეშერას  ზღვრული  წრე  სიმეტრიული  მოდულარული  ფორმაა,  ხოლო  ორივე,  გარკვეული  თვალსაზრისით,  არსებითად  მოდულარული  მესერებია.

          ჩემი  ვარაუდით,  ელიფსური  წირები  და  მოდულარული  ფორმები  არსებითად  მოდულარული  მესერებია.  ეს  არის  ელიფსურ  წირთა  თეორიას,  მოდულარულ  ფორმათა  თეორიას  და  მესერთა  თეორიას  შორის  ახალი  უნიკალური  ხიდის  გადების  შესაძლებლობის  ვარაუდი.

          თეორემა.  თუ  ერთადერთ  დამატებებიანი  L  მესერი  ქვემესერის  სახით  არ  შეიცავს  N5  და  M3  მესერებიდან  არცერთს,  რომელთა  უმცირესი  ელემენტები  ემთხვევა  L  მესერის  უმცირეს  ელემენტს,  მაშინ  L  დისტრიბუციულია.

          ფერმას  განტოლების  ფრეისებურ  გარდაქმნაზე  უკეთესი,  შესაძლებელია  ყოფილიყო  სხვა  გარდაქმნა,  რომელიც  ტანიამა-შიმურას  ჰიპოთეზის  გვერდის  ავლით  მიგვიყვანდა  შედეგამდე,  მართლაც:  პაპავას  ჰიპოთეზის  თანახმად,  თუ      (a,b)=1,       a+b=c,  მაშინ  არსებობს  მარტივი  რიცხვი  p  ისეთი,  რომ  p|abc  და  p³†abc.

       პაპავას  ჰიპოთეზის  სამართლიანობიდან  პირდაპირ  გამომდინარეობს  ფერმას  დიდი  თეორემის  და ბილის  ვარაუდის  სამართლიანობა.

         სხვა  შემთხვევაში  შევადგინოთ  განტოლება:

(x-a)(x-b)(x+c)=0,

x³+(ab-(a+b)²)x+ab(a+b)=0,

x³+(ab-c²)x+abc=0.

          ფერმას  განტოლების  შემთხვევაში  გვექნება  შემდეგი  გარდაქმნა:

A^n+B^n=C^n,  n>2,

x³+(A^n B^n-C^(2n))x+(ABC)^n=0.

          ბილის  განტოლების  შემთხვევაში  გვექნება  შემდეგი  გარდაქმნა:

A^m+B^n=C^k,  m>2,  n>2,  k>2,  (A,B,C)=1,

x³+(A^m B^n-C^(2k))x+A^m B^n C^k=0.

          თუ  დამტკიცდა  რომ  ამ  კუბურ  განტოლებებს  არა  აქვს  ამონახსნი  ნატურალურ  რიცხვთა  სიმრავლეში,  მაშინ  ფერმას  დიდი  თეორემა  და  ბილის  ვარაუდი  სწორია.    

         აქ  ვიყენებთ  გალუას  თეორიას,  რომელიც  ჩემი  ვარაუდით  მიგვიყვანს  დანიშნულების  წერტილამდე.  არის  მეორე  მიმართულებაც,  კერძოდ:  კარდანოს  ფორმულების  გამოყენება.

თეორემა 1.  განტოლება

x³-ax²+bx-a=0

ამოხსნადია  ნატურალურ  რიცხვთა  სიმრავლეში,  პარამეტრების  მხოლოდ  ერთადერთი  მნიშვნელობებისათვის.

x³-6x²+11x-6=0,

x1=1,  x2=2,  x3=3.

თეორემა 2.  განტოლება

x^4-ax³+bx²-cx+a=0

ამოხსნადია  ნატურალურ  რიცხვთა  სიმრავლეში  პარამეტრების  მხოლოდ  ერთადერთი  მნიშვნელობებისათვის.

x^4-8x³+21x²-22x+8=0,

x1=1,  x2=1,  x3=2,  x4=4.

თეორემა 3.  x^5-a x^4+bx³-cx²+dx-a=0,

ამ  შემთხვევაში  არსებობს  პარამეტრების  მხოლოდ  სამი  ვარიანტი,  რომლებიც  შეესაბამება  შემდეგ  ამონახსნებს:

(x-1)³(x-2)(x-5)=0,

(x-1)³(x-3)²=0,

(x-1)²(x-2)³=0.

შენიშვნა.  ამ  თეორიის  გაგრძელება,  განზოგადება  და  გამოყენება  საინტერესოა.

                                                ემზარ  პაპავა