შაბათი, 30.05.2020, 10:06მოგესალმები სტუმარი | RSS
ემზარ პაპავას ოფიციალური ვებგვერდი ...პოეზია... ...მათემათიკა...
საიტის მენიუ
სექციის კატეგორიები
მატემატიკა [364]
სტატისტიკა

სულ ონლაინში: 1
სტუმარი: 1
მომხმარებელი: 0
შესვლის ფორმა

ფაილების კატალოგი


მთავარი » ფაილები » მათემატიკა » მატემატიკა

(x-a)^2 (x^2+-y^2)=b^2 x^2
[ სერვერიდან გადმოტვირთვა (2.15 Mb) ] 19.10.2014, 16:37

       ამ წირის საოცარი გრაფიკის სანახავად დააწკაპუნეთ ზემოთ გააქტიურებულ  ,,სერვერიდან გადმოტვირთვას”.

          პლიუსის შემთხვევაში გვაქვს ნიკომედის კონხოიდი, ხოლო მინუსის შემთხვევაში _  სრულიად განსხვავებული მეოთხე რიგის წირი, რომელიც უფრო საინტერესო აღმოჩნდა, ვიდრე კონხოიდი, რადგან ის სრულად პარამეტრიზებადია (a და b-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისათვის), ხოლო კონხოიდებისათვის პარამეტრიზების აუცილებელი და საკმარისი პირობა აღმოვაჩინე. (x-a)2(x2-y2)=b2x2 წირი მოდულარულია, ხოლო ნიკომედის კონხოიდის მოდულარულობა Q-ზე, დამოკიდებულია b კოეფიციენტზე. 

      რიცხვთა თეორიის და კრიპტოგრაფიის უნივერსალურ იარაღს (ელიფსურ წირებს) სულ მალე მეოთხე რიგის წირები შეცვლიან.

      დავიწყოთ ნიკომედის კონხოიდის იმ შემთხვევით, როცა a=b.

(x-a)2(x2+y2)=b2x2,

(x-a)2(x2+y2)=a2x2,

(x(x-a))2+(y(x-a))2=(ax)2,

ax=m2+n2,  x(x-a)=2mn,  y(x-a)=m2-n2,

(m2+n2)2-a2(m2+n2)=2a2mn,      

(m2+n2)2=a2(m+n)2,

m2+n2=a(m+n),

m2-am+(n2-an)=0,

D=a2-4(n2-an)=2a2-(2n-a)2=d2,

d2+(2n-a)2=2a2,

d=(2pq+p2-q2)/2,  2n-a=(2pq-p2+q2),  a=(p2+q2)/2.

m=(a+-d)/2,

m=a/2+-(2pq+p2-q2)/4,

n=a/2+(2pq-p2+q2)/4.

x=(m2+n2)/a=m+n,

y=(m2-n2)/(x-a)=(m-n)(m+n)/(x-a)=x(m-n)/(x-a).

x=x(p,q),  y=y(p,q).

      ადვილი მისახვედრია, რომ x და y არის p და q-ს რაციონალური ფუნქცია.


      ახლა გადავიდეთ მეორე წირის განხილვაზე.

(x-a)2(x2-y2)=b2x2,

(y(x-a))2+(bx)2=(x(x-a))2,

x(x-a)=m2+n2,  bx=2mn,  y(x-a)=m2-n2,

4(mn)2-2abmn=b2m2+b2n2,

b2(m/n)2+2ab(m/n)+b2-4m2=0,

D/4=a2b2-b4+4b2m2=b2(4m2+a2-b2),

4m2+a2-b2=k2,

(2m)2+a2=b2+k2,

2m=pr+qs,  a=qr-ps,  b=pr-qs,  k=qr+ps,

m/n=(-ab+-bk)/b2=(-a+-k)/b,

n=bm/(-a+-k),

x=2mn/b,   y=(m2-n2)/(x-a).

x=x(p,q,r,s),   y=y(p,q,r,s).

      ასე რომ მოცემული წირი პარამეტრიზებადია, რის დამტკიცებაც გვინდოდა.


      ვაგრძელებ თემას და გთავაზობთ უკეთეს ვარიანტს.

(x-a)2(x2-y2)=b2x2,

(x-a)2x2-b2x2=(x-a)2y2,

y2=x2((x-a)2-b2)/(x-a)2,

y=+-x((x-a)2-b2)1/2/(x-a),

(x-a)2-b2=k2,

k2+b2=(x-a)2,

x-a=m2+n2,  b=m2-n2,  k=2mn,

x=a+m2+n2,  y=+-2mn(a+m2+n2)/(m2+n2),  m2-n2=b,

(m+n)(m-n)=b,  m-n=t, m+n=b/t,

m=(b/t+t)/2,  n=(b/t-t)/2.

ან x-a=m2+n2,  b=2mn,  k=m2-n2,

x=a+m2+n2,  y=+-(m2-n2)(a+m2+n2)/(m2+n2),  m=b/(2n).

      ასე რომ ეს წირი სრულიად პარამეტრიზებადია Q-ზე.

     ახლა განვიხილოთ ნიკომედის კონხოიდი.

(x-a)2(x2+y2)=b2x2,                                                

თეორემა. აუცილებელი და საკმარისი პირობა იმისა, რომ ნიკომედის კონხოიდი იყოს პარამეტრიზებადი იმაში მდგომარეობს, რომ b-ს კანონიკურ დაშლაში 4n+3 სახის ყოველი მარტივი მამრავლი შედიოდეს ლუწ ხარისხში, თუ ის მას შეიცავს.

დ   ა   მ   ტ   კ   ი   ც   ე   ბ   ა

(x-a)2y2=b2x2-x2(x-a)2,

y2=x2(b2-(x-a)2)/(x-a)2,

y=+-x(b2-(x-a)2)1/2/(x-a),

b2-(x-a)2=k2,

k2+(x-a)2=b2,

b=m2+n2,  k=2mn,  x-a=m2-n2,

x=a+m2-n2,  y=+-2mn(a+m2-n2)/(m2-n2),  m2+n2=b;

ან b=m2+n2,  k=m2-n2,  x-a=2mn,

x=a+2mn,  y=+-(a+2mn)(m2-n2)/(2mn),  m2+n2=b.

      როგორც ვხედავთ, ორივე შემთხვევისათვის , ნიკომედის კონხოიდის პარამეტრიზება დამოკიდებულია იმაზე, რომ არის თუ არა b ორი რიცხვის კვადრატის ჯამის სახით წარმოდგენადი. ამ პირობის დასადგენად შეგვიძლია გამოვიყენოთ რიცხვთა თეორიაში ცნობილი თეორემა, რომელიც შემდეგში მდგომარეობს:

თეორემა. აუცილებელი და საკმარისი პირობა იმისა, რომ b რიცხვი წარმოდგებოდეს ორი კვადრატის ჯამად იმაში მდგომარეობს, რომ მის კანონიკურ დაშლაში 4n+3 სახის ყოველი მარტივი მამრავლი შედიოდეს ლუწ ხარისხში, თუ ის მას შეიცავს.

      მივაქციოთ ყურადღება იმას, რომ m2+n2=b განტოლებას თუ Z-ში არა აქვს ამონახსნი, მაშინ მას ასევე ამონახსნი არა აქვს Q-შიც, რადგან მას Q-ში ამონახსნი რომ ჰქონდეს, მაშინ გვექნებოდა (p/q)2+(r/s)2=b, საიდანაც ვღებულობთ (ps)2+(rq)2=b(qs)2, რაც წინააღმდეგობაა ბოლოს მოყვანილი დამხმარე თეორემის თანახმად, რადგან m2+n2=b განტოლებას როცა ამონახსნი არა აქვს, მაშინ b კანონიკურ დაშლაში შეიცავს 4n+3 სახის მარტივ თანამამრავლს კენტი ხარისხის მაჩვენებლით.

     ახლა თუ აქ გაკეთებულ ყველაფერს ერთად გავითვალისწინებთ, მაშინ თეორემა დამტკიცებულია.

      აქ დამტკიცებული თეორემა ტოლფასია შემდეგი თეორემების:

თეორემა. განტოლების (x-a)2(x2+y2)=b2x2  Q-ში ამოხსნადობის (x=y=0 შემთხვევის გარდა) აუცილებელი და საკმარისი პირობა მდგომარეობს იმაში, რომ b კანონიკურ დაშლაში 4n+3 სახის მარტივ თანამამრავლს შეიცავდეს ლუწ ხარისხში, თუ ის მას შეიცავს.

თეორემა. იმისათვის რომ ნიკომედის კონხოიდი შეიცავდეს რაციონალურ წერტილებს (x=y=0 შემთხვევის გარდა), აუცილებელი და საკმარისია, რომ მისი განტოლების b კოეფიციენტის კანონიკურ დაშლაში 4n+3 სახის ყოველი მარტივი მამრავლი შედიოდეს ლუწ ხარისხში, თუ ის მას შეიცავს. 

      ახლა განვიხილოთ ზოგადი შემთხვევა.

(x-a)n(xn+-yn)=bnxn, თუ n>2, მაშინ განტოლებას ამონახსნი არა აქვს, რადგან ამ განტოლების ტოლფასი განტოლებაა (x(x-a))n+-(y(x-a))n=(bx)n, საიდანაც ფერმას უკანასკნელი თეორემის თანახმად განტოლებას ამონახსნი არა აქვს, როცა n>2.

      თუ n=1, მაშინ განტოლებას ამონახსნი აქვს.

                                                       ემზარ პაპავა

 

კატეგორია: მატემატიკა | დაამატა: papavaemzari
ნანახია: 834 | რამოტვირთვები: 47 | რეიტინგი: 5.0/1
სულ კომენტარები: 0
სახელი *:
Email *:
კოდი *:
ძებნა
საიტის მეგობრები