ამ წირის საოცარი გრაფიკის სანახავად დააწკაპუნეთ ზემოთ გააქტიურებულ ,,სერვერიდან გადმოტვირთვას”.
პლიუსის შემთხვევაში გვაქვს ნიკომედის კონხოიდი, ხოლო მინუსის შემთხვევაში _ სრულიად განსხვავებული მეოთხე რიგის წირი, რომელიც უფრო საინტერესო აღმოჩნდა, ვიდრე კონხოიდი, რადგან ის სრულად პარამეტრიზებადია (a და b-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისათვის), ხოლო კონხოიდებისათვის პარამეტრიზების აუცილებელი და საკმარისი პირობა აღმოვაჩინე. (x-a)2(x2-y2)=b2x2 წირი მოდულარულია, ხოლო ნიკომედის კონხოიდის მოდულარულობა Q-ზე, დამოკიდებულია b კოეფიციენტზე.
რიცხვთა თეორიის და კრიპტოგრაფიის უნივერსალურ იარაღს (ელიფსურ წირებს) სულ მალე მეოთხე რიგის წირები შეცვლიან.
დავიწყოთ ნიკომედის კონხოიდის იმ შემთხვევით, როცა a=b.
(x-a)2(x2+y2)=b2x2,
(x-a)2(x2+y2)=a2x2,
(x(x-a))2+(y(x-a))2=(ax)2,
ax=m2+n2, x(x-a)=2mn, y(x-a)=m2-n2,
(m2+n2)2-a2(m2+n2)=2a2mn,
(m2+n2)2=a2(m+n)2,
m2+n2=a(m+n),
m2-am+(n2-an)=0,
D=a2-4(n2-an)=2a2-(2n-a)2=d2,
d2+(2n-a)2=2a2,
d=(2pq+p2-q2)/2, 2n-a=(2pq-p2+q2), a=(p2+q2)/2.
m=(a+-d)/2,
m=a/2+-(2pq+p2-q2)/4,
n=a/2+(2pq-p2+q2)/4.
x=(m2+n2)/a=m+n,
y=(m2-n2)/(x-a)=(m-n)(m+n)/(x-a)=x(m-n)/(x-a).
x=x(p,q), y=y(p,q).
ადვილი მისახვედრია, რომ x და y არის p და q-ს რაციონალური ფუნქცია.
ახლა გადავიდეთ მეორე წირის განხილვაზე.
(x-a)2(x2-y2)=b2x2,
(y(x-a))2+(bx)2=(x(x-a))2,
x(x-a)=m2+n2, bx=2mn, y(x-a)=m2-n2,
4(mn)2-2abmn=b2m2+b2n2,
b2(m/n)2+2ab(m/n)+b2-4m2=0,
D/4=a2b2-b4+4b2m2=b2(4m2+a2-b2),
4m2+a2-b2=k2,
(2m)2+a2=b2+k2,
2m=pr+qs, a=qr-ps, b=pr-qs, k=qr+ps,
m/n=(-ab+-bk)/b2=(-a+-k)/b,
n=bm/(-a+-k),
x=2mn/b, y=(m2-n2)/(x-a).
x=x(p,q,r,s), y=y(p,q,r,s).
ასე რომ მოცემული წირი პარამეტრიზებადია, რის დამტკიცებაც გვინდოდა.
ვაგრძელებ თემას და გთავაზობთ უკეთეს ვარიანტს.
(x-a)2(x2-y2)=b2x2,
(x-a)2x2-b2x2=(x-a)2y2,
y2=x2((x-a)2-b2)/(x-a)2,
y=+-x((x-a)2-b2)1/2/(x-a),
(x-a)2-b2=k2,
k2+b2=(x-a)2,
x-a=m2+n2, b=m2-n2, k=2mn,
x=a+m2+n2, y=+-2mn(a+m2+n2)/(m2+n2), m2-n2=b,
(m+n)(m-n)=b, m-n=t, m+n=b/t,
m=(b/t+t)/2, n=(b/t-t)/2.
ან x-a=m2+n2, b=2mn, k=m2-n2,
x=a+m2+n2, y=+-(m2-n2)(a+m2+n2)/(m2+n2), m=b/(2n).
ასე რომ ეს წირი სრულიად პარამეტრიზებადია Q-ზე.
ახლა განვიხილოთ ნიკომედის კონხოიდი.
(x-a)2(x2+y2)=b2x2,
თეორემა. აუცილებელი და საკმარისი პირობა იმისა, რომ ნიკომედის კონხოიდი იყოს პარამეტრიზებადი იმაში მდგომარეობს, რომ b-ს კანონიკურ დაშლაში 4n+3 სახის ყოველი მარტივი მამრავლი შედიოდეს ლუწ ხარისხში, თუ ის მას შეიცავს.
დ ა მ ტ კ ი ც ე ბ ა
(x-a)2y2=b2x2-x2(x-a)2,
y2=x2(b2-(x-a)2)/(x-a)2,
y=+-x(b2-(x-a)2)1/2/(x-a),
b2-(x-a)2=k2,
k2+(x-a)2=b2,
b=m2+n2, k=2mn, x-a=m2-n2,
x=a+m2-n2, y=+-2mn(a+m2-n2)/(m2-n2), m2+n2=b;
ან b=m2+n2, k=m2-n2, x-a=2mn,
x=a+2mn, y=+-(a+2mn)(m2-n2)/(2mn), m2+n2=b.
როგორც ვხედავთ, ორივე შემთხვევისათვის , ნიკომედის კონხოიდის პარამეტრიზება დამოკიდებულია იმაზე, რომ არის თუ არა b ორი რიცხვის კვადრატის ჯამის სახით წარმოდგენადი. ამ პირობის დასადგენად შეგვიძლია გამოვიყენოთ რიცხვთა თეორიაში ცნობილი თეორემა, რომელიც შემდეგში მდგომარეობს:
თეორემა. აუცილებელი და საკმარისი პირობა იმისა, რომ b რიცხვი წარმოდგებოდეს ორი კვადრატის ჯამად იმაში მდგომარეობს, რომ მის კანონიკურ დაშლაში 4n+3 სახის ყოველი მარტივი მამრავლი შედიოდეს ლუწ ხარისხში, თუ ის მას შეიცავს.
მივაქციოთ ყურადღება იმას, რომ m2+n2=b განტოლებას თუ Z-ში არა აქვს ამონახსნი, მაშინ მას ასევე ამონახსნი არა აქვს Q-შიც, რადგან მას Q-ში ამონახსნი რომ ჰქონდეს, მაშინ გვექნებოდა (p/q)2+(r/s)2=b, საიდანაც ვღებულობთ (ps)2+(rq)2=b(qs)2, რაც წინააღმდეგობაა ბოლოს მოყვანილი დამხმარე თეორემის თანახმად, რადგან m2+n2=b განტოლებას როცა ამონახსნი არა აქვს, მაშინ b კანონიკურ დაშლაში შეიცავს 4n+3 სახის მარტივ თანამამრავლს კენტი ხარისხის მაჩვენებლით.
ახლა თუ აქ გაკეთებულ ყველაფერს ერთად გავითვალისწინებთ, მაშინ თეორემა დამტკიცებულია.
აქ დამტკიცებული თეორემა ტოლფასია შემდეგი თეორემების:
თეორემა. განტოლების (x-a)2(x2+y2)=b2x2 Q-ში ამოხსნადობის (x=y=0 შემთხვევის გარდა) აუცილებელი და საკმარისი პირობა მდგომარეობს იმაში, რომ b კანონიკურ დაშლაში 4n+3 სახის მარტივ თანამამრავლს შეიცავდეს ლუწ ხარისხში, თუ ის მას შეიცავს.
თეორემა. იმისათვის რომ ნიკომედის კონხოიდი შეიცავდეს რაციონალურ წერტილებს (x=y=0 შემთხვევის გარდა), აუცილებელი და საკმარისია, რომ მისი განტოლების b კოეფიციენტის კანონიკურ დაშლაში 4n+3 სახის ყოველი მარტივი მამრავლი შედიოდეს ლუწ ხარისხში, თუ ის მას შეიცავს.
ახლა განვიხილოთ ზოგადი შემთხვევა.
(x-a)n(xn+-yn)=bnxn, თუ n>2, მაშინ განტოლებას ამონახსნი არა აქვს, რადგან ამ განტოლების ტოლფასი განტოლებაა (x(x-a))n+-(y(x-a))n=(bx)n, საიდანაც ფერმას უკანასკნელი თეორემის თანახმად განტოლებას ამონახსნი არა აქვს, როცა n>2.
თუ n=1, მაშინ განტოლებას ამონახსნი აქვს.
ემზარ პაპავა
|