პირველი ოქროს კვეთა ოქროს კვეთა არის მთელის ისეთი გაყოფა ორ, ერთმანეთის არატოლ ნაწილად, როდესაც დიდი ნაწილი ისე შეეფარდება მთელს, როგორც მცირე ნაწილი _ დიდს. ვთქვათ AB მონაკვეთი გაყოფილია C წერტილით ისე, რომ სრულდება ოქროს კვეთის პირობა. შემოვიღოთ აღნიშვნები: AB=a, AC=x, მაშინ BC=a-x და ოქროს კვეთის პირობის თანახმად მივიღებთ: x/a=(a-x)/x, საიდანაც x=((5^(1/2)-1)/2)a, x=0,618a; 0,618 მიახლოებითი მნიშვნელობაა. შემოვიღოთ აღნიშვნა µ=x/a, მაშინ მივიღებთ განტოლებას: µ²+µ-1=0. ამ განტოლების დადებითი ფესვი ოქროს კვეთის შეფარდების ტოლია: µ=(5^(1/2)-1)/2, ეს მართლაც შესანიშნავი რიცხვია _ მას ბევრი საინტერესო და საგულისხმო თვისება აქვს, რომლის გამოც გახდა ოქროს კვეთა უნიკალური. გავეცნოთ ამ თვისებათაგან ზოგიერთ მათგანს: 1. დიდი მონაკვეთის სიგრძე, მცირე მონაკვეთისა და მთელი მონაკვეთის სიგრძეთა, საშუალო გეომეტრიულია; 2. ფარგლითა და სახაზავით შესაძლებელია მონაკვეთის ოქროს კვეთა; 3. წესიერი ხუთკუთხედის დიაგონალები იკვეთება ოქროს კვეთით; 4. 1/µ=µ+1; 5. წარმოდგენა უსასრულო ჯაჭვწილადის სახით µ=1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+...)))); 6. µ=1/(1+(1+(1+...)^(1/2))^(1/2))^(1/2); 7. განვიხილოთ µ ირაციონალური რიცხვის რაციონალური მიახლოება მახლოვადი წილადების საშუალებით, სადაც თავს იჩენს ფიბონაჩის მიმდევრობა. µ-ს მახლოვადი წილადებია: 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89,... მრიცხველები ადგენენ ფიბონაჩის მიმდევრობას: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,... ui+1=ui+ui-1. მეორე ოქროს კვეთა მეორე ოქროს კვეთა არის მთელის ისეთი გაყოფა ორ არატოლ ნაწილად, როდესაც მცირე ნაწილი x ისე შეეფარდება მთელს a-ს, როგორც დიდი a-x და მცირე x ნაწილების სხვაობა _ მცირეს x-ს. x/a=(a-2x)/x, x=(2^(1/2)-1)a=((8^(1/2)-2)/2)a, x/a=µ2=0,414 (მიახლოებითი მნიშვნელობა), თვისებები: 1. მეორე ოქროს კვეთისას პატარა მონაკვეთის სიგრძე, მთელი მონაკვეთისა და დიდი და პატარა მონაკვეთის სიგრძეთა სხვაობის, საშუალო გეომეტრიულია: x=(a(a-2x))^(1/2); 2. ფარგლისა და სახაზავის საშუალებით შესაძლებელია მონაკვეთის მეორე ოქროს კვეთა; 3. წესიერი რვაკუთხედის რომელიღაც დიაგონალი იკვეთება მეორე ოქროს კვეთით; 4. 1/µ2=µ2+2; 5. წარმოდგენა უსასრულო ჯაჭვწილადის სახით: µ2=1/(2+1/(2+1/(2+...))); 6. µ2=1/(2+(2+(2+...)^(1/2))^(1/2))^(1/2); 7. განვიხილოთ µ2 ირაციონალური რიცხვის რაციონალური მიახლოება მახლოვადი წილადების საშუალებით, სადაც თავს იჩენს საინტერესო მიმდევრობა, ფიბონაჩის მიმდევრობის ანალოგიურად, რომელსაც მოვიხსენიებ ჩემი გვარით, კერძოდ: პაპავას მიმდევრობა. მახლოვადი წილადებია: 1/2, 2/5, 5/12, 12/29, 29/70, 70/169, 169/408,... მრიცხველები ადგენენ პაპავას მიმდევრობას: 1,2,5,12,29,70,169,408,... ui+1=2ui+ui-1. n-ური ოქროს კვეთა n-ური ოქროს კვეთა არის მთელის ისეთი გაყოფა ორ არატოლ ნაწილად, როდესაც მცირე ნაწილი x ისე შეეფარდება მთელს a-ს, როგორც მთელისა და გაენკეცებული მცირე ნაწილის სხვაობა _ მცირეს. x/a=(a-nx)/x, x²+anx-a²=0, x=((n²+4)^(1/2)-n)(a/2), µn=x/a=((n²+4)^(1/2)-n)/2, (µn)²+nµn-1=0, n=1,2,3,... µ1, µ2, µ3,...,µn,... lim µn=0, როცა n მიისწრაფვის უსასრულობისაკენ. თვისებები: 1. x=(a(a-nx))^(1/2); 2. ფარგლისა და სახაზავის საშუალებით შეიძლება აგება n-ური ოქროს კვეთისა; 3. რომელიღაც წესიერი მრავალკუთხედის დიაგონალები იკვეთება n-ური ოქროს კვეთით; 4. 1/µn=µn+n; 5. µn=1/(n+1/(n+1/(n+...))); 6. µn=1/(n+(n+(n+...)^(1/2))^(1/2))^(1/2); 7. 1/n, n/(n²+1), (n²+1)/(n³+2n), (n³+2n)/(n^4+3n²+1), (n^4+3n²+1)/(n^5+4n³+3n),... ესენი µn-ის მახლოვადი წილადებია, რომლებიც მიიღება შემდეგი ფორმულით: ui/vi; ui+1/vi+1=vi/(ui+nvi). მრიცხველები ადგენენ პაპავას n-ურ მიმდევრობას, კერძოდ: 1, n, n²+1, n³+2n, n^4+3n²+1, n^5+4n³+3n,... ui+1=nui+ui-1. ეს არის ფიბონაჩის მიმდევრობის განზოგადება. როცა n=1, მაშინ ვღებულობთ ფიბონაჩის მიმდევრობას, ხოლო როცა n=2,3,4,..., მაშინ გვაქვს პაპავას მიმდევრობები. ამ აღმოჩენის შემდეგ, შეიძლება ვთქვათ, რომ რაციონალური კვეთები უფრო მნიშვნელოვანია, ვიდრე _ ირაციონალური. აღსანიშნავია ის, რომ ყველაზე კარგი კვეთაა მთელის ორ ტოლ ნაწილად გაყოფა და ასე შემდეგ რაციონალური კვეთები და ამის შემდეგ ირაციონალური კვეთები. ასე რომ ოქროს კვეთის პირველადობის მითი დაიმსხვრა. ემზარ პაპავა ველი კომენტარს
| 
