ფაილების კატალოგი

      თეორემა.  ნებისმიერი  n>1-სათვის  განტოლებას

X1+...+Xn=X1*...*Xn

გააჩნია  ამონახსნი  ნატურალურ  რიცხვთა  სიმრავლეზე.

               დ   ა   მ   ტ   კ   ი   ც   ე   ბ   ა

2n=(n-2)+(n+2),

1*...*1*2*n=1+...+1+2+n,

ერთიანები  ტოლობის  მარცხნივაც  და    მარჯვნივაც  (n-2)-ჯერ  მეორდება,  მაშასადამე  განტოლების  ამონახსნია:  (1,...1,2,n),  ერთიანები  აქაც  ცხადია  (n-2)-ჯერ  მეორდება.  ასე  რომ  თეორემა  დამტკიცებულია.

შენიშვნა.  რადგან  განტოლება  სიმეტრიულია,  ამიტომ  მიღებული  კერძო  ამონახსნისაგან  კომპონენტების  გადანაცვლებით  შეიძლება  მივიღოთ  სხვა  ამონახსნებიც,  რომელთა  რაოდენობა  იქნება:  n!/(n-2)!1!1!=(n-1)n.

     საყურადღებოა  ის  ფაქტიც,  რომ  შესაძლებელია  სხვა  ამონახსნიც  არსებობდეს,  რომელიც  დამოკიდებულია  n-ზე.

მაგალითი 1.  a+b=ab,

a<=b,  a+b<=2b,  ab=a+b<=2b,  a<=2,  a=1  ან  a=2,  1+b>1*b,  2+b=2b,  b=2,

2+2=2*2,  N(2)=1.

   N  აქ  არის  ამონახსნთა  რაოდენობა.

მაგალითი 2.  a+b+c=abc,

a<=c,  b<=c.

   გამოვრიცხოთ  შემთხვევა,  როცა  a=b=c,  რადგან  ამ  შემთხვევაში  c³=3c,  რაც  შეუძლებელია.

abc=a+b+c<3c,  ab<3,  1*2<3,  1*1<3,  1+2+c=1*2*c,  c=3.

1+1+c>1*1*c.

    მაშასადამე  ამონახსნია  (1,2,3),  კომპონენტების  გადანაცვლებით  მივიღებთ  ყველა  ამონახსნს,  რომელთა  რაოდენობა  ტოლია  3!=6,  N(3)=6.

მაგალითი 3.  a+b+c+d=abcd,

abcd=a+b+c+d<4d,  abc<4,  1+1+2+d=1*1*2*d,  d=4;

(1,1,2,4).

N(4)=4!/2!1!1!=12,

N(4)=12.

მაგალითი 4.  a+b+c+d+e=abcde,

abcde=a+b+c+d+e<5e,

abcd<5,

1+1+1+2+e=2e,  e=5;

1+1+1+3+e=3e,  e=3;

1+1+2+2+e=4e,  e=2;

(1,1,1,2,5),  (1,1,1,3,3),  (1,1,2,2,2);

N(5)=5!/3!1!1! + 5!/3!2! + 5!/2!3! = 20+10+10=40,

N(5)=40.

მაგალითი 5.  a+b+c+d+e+r=abcder,

abcder=a+b+c+d+e+r<6r,

abcde<6,

1+1+1+1+2+6=1*1*1*1*2*6,

(1,1,1,1,2,6);

N(6)=6!/4!1!1! =30,

N(6)=30.

                               ემზარ  პაპავა