ერატოსთენეს საცერის მათემატიკური მოდელირება პასუხს აძლევს ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეში მარტივ რიცხვთა სიმრავლის განაწილების კანონს, საიდანაც შესაძლებელია მარტივ რიცხვთა რაოდენობის გამოთვლა ნებისმიერ მოცემულ რიცხვამდე, ხოლო ამის შემდეგ შესაძლებელია პასუხი გაეცეს რიმანის ჰიპოთეზას, რომელიც განთავსებულია ათასწლეულის ამოცანათა სიაში, რომელზედაც დაწესებულია $1000 000 დოლარი.
თეორემა. ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლიდან 2-ისა და 3-ის ჯერადი რიცხვების ამოშლის შემდეგ დარჩენილი რიცხვების ზოგადი ფორმულა
Rn(2;3)=3n+(7(-1)n-1-3)/2;
Rn(2;3)=3n+1+((-1)n-1+1)/2.
შენიშვნა. თუ ამ მეთოდს გამოვიყენებთ ერატოსთენეს საცერში, მაშინ მივიღებთ უფრო საოცარ შედეგს, ამასთან აქედან გამომდინარეობენ რიცხვთა თეორიის უამრავი ურთულესი პრობლემების პასუხები.
ვაგრძელებ თემას.
ვთქვათ, მოცემულია 2,3,5,7,...,p მარტივი რიცხვები. განვიხილოთ ამ რიცხვების ნამრავლი და ვუწოდოთ მას მარტივ რიცხვთა წყვეტილი ფაქტორიალი, რომელიც აღვნიშნოთ შემდეგი სახით p!=2*3*5*7*11*...*p. მაგ.: 17!=2*3*5*7*11*13*17.
თუ მარტივ რიცხვთა სიმრავლეს გადავნომრავთ, მაშინ p! -ზე ნაკლები მარტივი რიცხვები იქნებიან
p1,p2,p3,...,pп(p),pп(p)+1,pп(p)+2,...,pп(p!), სადაც p1=2, p2=3, p3=5,..., pп(p)=p,...
განვიხილოთ ნაშთთა სრული სისტემა mod p!, სადაც n ნებისმიერი არაუარყოფითი მთელი რიცხვია:
p!n, p!n+1, p!n+2, p!n+3,...,p!n+p! -1.
ამ სიიდან ამოვშალოთ 2,3,5,7,...,p მარტივი რიცხვების ჯერადები, რის შედეგადაც სიაში დაგვრჩება ნაშთთა დაყვანილი სისტემა mod p!, რომელიც აღვნიშნოთ შემდეგნაირად:
Sn(modp!)={p!n+1,p!n+pп(p)+1,p!n+pп(p)+2,...,p!n+pп(p!)}, სადაც n=0,1,2,3,...
ახლა თუ გავაერთიანებთ მიღებულ ნაშთთა დაყვანილ სისტემებს n-ის მიმართ, მაშინ მივიღებთ ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლიდან, 2,3,5,7,...,p მრტივი რიცხვების ჯერადების ამოშლის შემდეგ, დარჩენილი რიცხვთა სიმრავლეს:
n=0UooSn(modp!)={(1,pп(p)+1,...,pп(p!)),(p!+1,p!+pп(p)+1,...,p!+pп(p!)),(p!2+1,p!2+pп(p)+1,...,p!2+pп(p!)),...,(p!n+1,p!n+pп(p)+1,...,(p!n+pп(p!)),...}.
თუ ამ სიმრავლეს დავამატებთ ამოშლილ 2,3,5,7,...,p მარტივ რიცხვებს, მაშინ მივიღებთ თითქმის მარტივ რიცხვთა სიმრავლეს ნებისმიერი მიახლოებით p-ს გაზრდის ხარჯზე.
p1=2, p2=3, p3=5, p4=7,...,pп(p)=p,...;
p!=2*3*5*7*11*...*p;
w(p)=п(p!)-п(p)+1.
M2={2k: k=1,2,3,...};
M3={3k: k=1,2,3,...};
M5={5k: k=1,2,3,...};
..............................
Mp={pk: k=1,2,3,...}.
N\(M2UM3UM5U...UMp)={Rn(2,3,5,7,...,p): n=0,1,2,3,...}.
Rn(2,3,5,7,...,p)=p![n/w(p)]+1 when n=0(mod w(p)),
Rn(2,3,5,7,...,p)=p![n/w(p)]+pп(p)+1 when n=1(mod w(p)),
Rn(2,3,5,7,...,p)=p![n/w(p)]+pп(p)+2 when n=2(mod w(p)),
.....................................................................
Rn(2,3,5,7,...,p)=p![n/w(p)]+pw(p)-1 when n=w(p)-1(mod w(p)).
ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლიდან 2,3,5,7,11,...,p მარტივი რიცხვების ჯერადების ამოშლის შემდეგ დარჩენილი რიცხვების მიმდევრობის ზოგადი ფორმულა:
Rn(2,3,5,7,...,p)=p!n/w(p)+1, როცა w(p)|n;
Rn(2,3,5,7,...,p)=p![n/w(p)]+pi(n), i(n)<=п(p!), როცა w(p)|n;
w(p)=п(p!)-п(p)+1;
i(n)=п(p)+n-[n/w(p)]w(p).
თუ rad(n)=p1p2...pr, მაშინ p1, p2,...,pr მარტივი რიცხვების ჯერადების, 1-დან n-ამდე ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლიდან, ამოშლის შემდეგ დარჩენილი რიცხვები წარმოადგენენ n-თან თანამარტივ რიცხვთა სიმრავლეს ანუ ნაშთთა დაყვანილ სისტემას mod n, რომელშიც ელემენტების რაოდენობაა ф(n).
თუ rad(n)=p!, მაშინ п(n)-п(p)<ф(p!).
п(p!)-п(p)<ф(p!).
Rф(p!)-1(2,3,5,7,...,p)=p! -1;
Rф(p!)(2,3,5,7,...,p)=p! +1.
rad(ab)=rad(a)*rad(b)/rad(a,b);
ф(a)=a*ф(rad(a))/rad(a);
ф(ab)=ф(a)ф(b)ф(rad(b)/rad(a,b))rad(a,b)/ф(rad(b)).
ემზარ პაპავა
|
