გინდ დაიჯერეთ, გინდ არა, ჩემმა იდეამ იარა,
იარა, იარა, იარა, მსოფლიო შემოიარა.
ღვინით გამივსეთ ფიალა, არ მიმარილოთ იარა,
abc აქა ყოფილა, იაპონიაში კი არა.
ჰიპოთეზა. თუ (a,b)=1 და a+b=c, მაშინ c1/2<rad(abc).
დ ა მ ტ კ ი ც ე ბ ა
მოცემული ჰიპოთეზის პირობებში, მოცემული c-სათვის, თუ განვიხილავთ a და b-ს ყველა შესაძლო ვარიანტებს, მაშინ a და b გაირბენს ნაშთთა დაყვანილ სისტემას mod c: 1,...,c-1, რომელშიც ელემენტების რაოდენობაა ф(c).
თუ rad(a), rad(b) და rad(c) რიცხვებიდან ერთ-ერთი მაინც მეტია ან ტოლი c1/2-ზე, მაშინ ჰიპოთეზა ჭეშმარიტია, რადგან c1/2<rad(a)rad(b)rad(c).
დაგვრჩა ის შემთხვევები, როცა სამივე rad(a), rad(b) და rad(c) ნაკლებია c1/2-ზე.
ზოგადობის დაურღვევლად, ვიგულისხმოთ, რომ rad(a), rad(b) და rad(c) ნაკლებია c1/2-ზე და მათემატიკური ინდუქციის გამოყენებით დავამტკიცოთ ჰიპოთეზის ჭეშმარიტება. მათემატიკურ ინდუქციას ვატარებთ c-ს მიმართ. ინდუქციის პირველი ნაწილი ცხადია ჭეშმარიტია. ვამტკიცებთ მეორე ნაწილს.
ვთქვათ, ჰიპოთეზა ჭეშმარიტია c-მდე ყველა ნატურალური რიცხვებისათვის და დავამტკიცოთ (c+1)-სათვის.
დასამტკიცებელი გვაქვს, რომ, თუ (m,n)=1 და m+n=c+1, მაშინ (c+1)1/2<rad(mn(c+1)).
როცა rad(m), rad(n) და rad(c+1) სამეულიდან ერთ-ერთი მაინც მეტია ან ტოლი (c+1)1/2-ზე, მაშინ (c+1)1/2<rad(m)rad(n)rad(c+1).
როგორც ვხედავთ, დასამტკიცებელი დაგვრჩა ის შემთხვევები, როცა rad(m), rad(n) და rad(c+1) სამივე ნაკლებია (c+1)1/2-ზე.
ახლა, ზოგადობის დაურღვევლად, ვიგულისხმოთ, რომ rad(m), rad(n) და rad(c+1) სამივე ნაკლებია (c+1)1/2-ზე, მაშინ rad(m), rad(n) და rad(c+1) სამივე ნაკლებია ან ტოლი c1/2-ზე, მაგრამ როცა rad(m), rad(n) და rad(c+1) სამეულიდან ერთ-ერთი მაინც თუ ტოლია c1/2-ს , მაშინ c1/2<rad(m)rad(n)rad(c+1).
აქედან კი გამოდის, რომ (c+1)1/2<=rad(mn(c+1)), მაგრამ რადგან m, n და c+1 წყვილ-წყვილად ურთიერთმარტივია, ამიტომ ტოლობა არ შეიძლება, მაშასადამე (c+1)1/2<rad(mn(c+1)).
ასე, რომ ჰიპოთეზა დამტკიცებულია.
ეს მტკიცება, შინიჩი მოჩიზუკისეული 512 გვერდიანი მტკიცებისაგან განსხვავებით მარტივია, ხარვეზიც რომ ჰქონდეს, მოკლე გზას მაინც უჩვენებს abc ჰიპოთეზისაკენ.
ემზარ პაპავა
| 
